[통계학] 6-2. 조건부 확률 - 조건부 확률

이 포스트는 K-MOOC 숙명여대 여인권 교수님의 통계학의 이해 Ⅰ 강의를 기반으로 작성되었습니다.

동전 두 개를 던졌을 때, 모두 앞면이 나올 확률은 어떻게 될까? 쉽게 1/4을 떠올릴 수 있을 것이다.
그렇다면 어떤 한 동전을 먼저 던져 앞면이 나왔을 때, 두 동전 모두 앞면일 확률은 어떻게 될까?
이번에는 이와 같이 한 조건이 미리 주어져있을 때의 확률인 조건부 확률에 대해 알아보고자 한다.

조건부 확률 (conditional probability)
확률 실험에서 새로운 정보 or 조건(A)이 추가됐을 때 사건 B의 확률
사건 A가 발생했다면 A가 새로운 표본공간이 되므로
B가 발생한다는 것은 A와 B의 교집합 원소가 발생한다는 것을 의미한다.

사건 A가 주어졌을 때 사건 B의 조건부 확률 (조건 : A)

ex) 사망률 (mortality rate)
2019년의 40대 사망률 : 2019년의 40대 사람들(조건) 중 40대에 사망한 사람의 비율

조건부 확률의 활용

조건부 확률 활용 1

ex) 정상제품 90개와 불량품 10개가 들어있는 상자에서 무작위로 2개를 뽑을 때, 둘 다 정상일 확률은?
P(정상1, 정상2) = P(정상1) * P(정상2 | 정상1) = 90/100 * 89/99

조건부 확률 활용 2

ex) 당첨복권이 4장인 복권 1000장을 발매했을 때, 4장의 복권 중 2번째 복권이 상첨될 확률은?

이처럼 일련의 사건들이 순차적으로 결합된 경우,
특정 시점에서의 사건 확률은 앞에서 발생할 수 있는 상황 or 연결된 상황들의 확률을 모두 더해 구할 수 있다.

ex) 스팸메일 필터를 통해 A라는 단어가 포함된 메일 비율 구하기
P(Spam) = 0.4, P(NotSpam) = 0.6, P(A|Spam) = 0.25, P(A|NotSpam) = 0.02
P(A) = P(Spam∩A) + P(NotSpam∩A)
      = P(Spam) * P(A|Spam) + P(NotSpam) * P(A|NotSpam)
      = 0.4 * 0.25 + 0.6 * 0.02

위의 예제를 확률수형도(probability tree)로 나타내면 다음과 같다.

표본공간의 분할 (partition)
사건 A1, ... , An이 서로 배반사건이고, 전체를 이루는 사건(exhaustive)인 경우

표본공간 분할 (partition)

분할(A1, ... , An)을 이용한 확률 표현