[통계학] 11-2. 정규분포 - 정규분포의 성질

이 포스트는 K-MOOC 숙명여대 여인권 교수님의 통계학의 이해 Ⅰ 강의를 기반으로 작성되었습니다.

이번에는 일반적인 정규분포의 성질과 확률, 분위수 등을 계산하는 방법에 대해 알아보고자 한다.

지난 포스트에서는 표준화된 표준정규분포로 확률과 분위수 등을 구하는 방법을 배웠었다. 이제 평균이 0이 아니거나 분산이 1이 아닌 일반적인 경우에 대해 살펴볼 건데, 이를 위해서는 확률변수의 선형변환 특성에 대해 알아야 한다. 
즉, 어떤 정규분포를 따르는 확률변수는 선형변환이 되어도 정규분포를 따른다는 것이다. 그렇다면 이 선형변환된 정규분포의 평균과 분산은 어떻게 될까? 아래 그림을 살펴보자.

표준정규분포와 일반 정규분포의 변환 과정

ex) X~N(60,16) → Z=(X-60)/4
P(55≤X<63) = P(X<63)-P(X<55) = P(Z<0.75)-P(Z<-1.25)
P(X≤x) = 0.025를 만족하는 x는? → P(Z≤(x-60)/4)=0.025를 만족하는 z=(x-60)/4를 계산

이제 선형결합의 정규분포에 대해 알아보자. 두 정규확률변수 X, Y의 선형결합 aX+bY도 정규분포를 따르는데, 이 정규분포의 모수인 평균과 분산에 대해 계산하면 다음과 같다.
이에 의해 X1과 X2가 정규분포를 따르고 σ_12=0이면, X1과 X2는 서로 독립이라는 성질을 알 수 있다.

정규확률변수 선형결합의 정규분포 형태

ex) 아침식사로 먹는 빵의 열량 X~N(200,12^2), 우유의 열량 Y~N(85,9^2)이며, 빵과 우유는 서로 독립이다.
Q1 : 이 때 아침식사에서 300kcal 이상 섭취할 확률은?
X+Y~N(285, 144+81)=N(285,15^2)이므로 P(X+Y>300) = P(Z>(300-285)/15) = 1 - P(Z≤1) = 0.1587 (표준정규분포표 이용)
Q2 : 이러한 방식으로 일주일 동안 식사했을 때, 300kcal 이상 섭취한 날이 하루일 확률은?
U~B(7,0.1587)임을 이용하여 P(U=1)을 이항분포 확률질량함수를 통해 계산한다.