[통계학] 12-4. 표본분표 - 기타통계량의 표집분포

이 포스트는 K-MOOC 숙명여대 여인권 교수님의 통계학의 이해 Ⅰ 강의를 기반으로 작성되었습니다.

이전까지는 표본평균을 중심으로 통계량의 표집분포에 대해 알아봤는데, 이번에는 다른 형태의 통계량, 특히 표본분산과 최댓값이 가지는 표집분포에 대해 알아보고자 한다.

표본분산의 표집분포

X1, ... , Xn ~ N(0, 5^2)의 분포를 따를 때, 표본분산/실제분산에 대한 분포는 다음과 같다. 이를 통해 예를 들어 n=5일 때 10보다 클 확률을 면적으로 추정할 수 있다.

표본분산 표집분포 예시

n이 커지면 자유도가 n-1인 카이제곱분포를 따르며, 아래 그래프의 빨간 선을 따르게 된다.
(카이제곱분포의 경우 뒤에서 자세히 다룰 예정이다.)

표본분산 표집분포가 따르는 카이제곱분포

 

최댓값의 표집분포

모든 관측값 중 가장 큰 값을 가리키는 최댓값이 x보다 작거나 같다면, 모든 관측값이 x보다 작거나 같게될 것이다.
따라서 아래와 같은 식이 성립되어 최댓값의 확률밀도함수를 구할 수 있게 된다.

최댓값의 확률밀도함수

ex) X1, ... , X5~U(0,1)인 균일(uniform)분포이면 아래와 같은 계산을 통해 최댓값의 확률밀도함수가 나온다.

최댓값의 확률밀도함수 예시

최솟값의 표집분포
모든 관측값 중 가장 작은 값인 최솟값이 x보다 크다면, 모든 관측값은 x보다 크게 된다.
따라서 최댓값의 표집분포를 구하는 방식을 이용해 아래와 같이 계산하여 구할 수 있다.

최솟값의 표집분포 구하는 방식