[통계학] 8-2. 확률벡터 - 결합분포와 주변분포

이 포스트는 K-MOOC 숙명여대 여인권 교수님의 통계학의 이해 Ⅰ 강의를 기반으로 작성되었습니다.

이제 우리가 다룰 확률변수가 2개 있다고 가정을 하고, 두 확률변수의 확률구조를 알아볼 것이다.

결합분포 (joint distribution)

두 개 이상의 확률변수들을 동시에 고려한 확률분포
확률변수 사이의 , 는 교집합을 의미

이산확률변수의 결합확률질량함수 공식

연속확률변수의 경우, 결합확률밀도함수 f(x, y)는 x, y에서의 밀도를 나타낸다.

연속확률변수의 결합확률밀도함수 성질

예를 들어, X와 Y가 균일분포라면 다음과 같이 결합확률밀도함수가 구해진다.

ex) 균일분포의 결합확률밀도함수

주변분포 (marginal distribution)

표본공간(Ω)이 사건 B1, ... , Bn으로 분할될 때 사건 A의 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

주변분포 공식

이산확률변수의 주변확률질량함수는 다음과 같다.

이산확률변수의 주변확률질량함수

연속확률변수의 주변확률밀도함수는 다음과 같다.

연속확률변수의 주변확률밀도함수

앞에서 봤던 균일분포 예시를 통해 더 자세히 알아보자.

ex) 균일분포에서 X의 주변확률밀도함수

독립 확률변수

우리는 지난번에 사건 A와 B가 독립일 경우 P(AB) = P(A)P(B) 이라는 것을 알았다.
그렇다면 두 확률변수가 독립일 경우에는 어떻게 표현할까?
또한, 여러 확률변수가 서로 독립(상호독립)일 경우에는 어떻게 표현할까?
아래 그림을 통해 알아보자.

독립 확률변수 공식