[통계학] 9-1. 주요 이산확률분포 - 베르누이 시행과 확률변수

이 포스트는 K-MOOC 숙명여대 여인권 교수님의 통계학의 이해 Ⅰ 강의를 기반으로 작성되었습니다.

이번부터는 통계학에서 많이 사용되는 중요한 분포들에 대해 배워보고자 한다.
이번에는 그 중 베르누이 시행과 베르누이 확률변수에 대해 알아보자.

베르누이 시행 (Bernoulli trial)

베르누이 시행은 다음과 같은 세가지 조건을 항상 만족한다.

1. 각 실험에서 발생 가능한 결과가 2가지밖에 없다.
2. 각 실험이 독립적으로 수행된다.
3. 모든 실험에서 결과 확률은 항상 동일하다.
   (예를 들어 성공할 확률과 실패할 확률은 항상 동일하다는 것이다.)

다음 예시 문제가 베르누이 시행인지 확인해보자.
10개의 제품 중 3개가 불량품일 때, 정상품을 뽑을 확률을 알아본다.
case1) 2개를 복원추출하는 경우 : P(S1, S2) = P(S1)*P(S2|S1) = 3/10 * 3/10 --> 각 실험이 독립적이므로 베르누이 시행
case2) 2개를 비복원추출하는 경우 : P(S1, S2) = P(S1)*P(S2|S1) = 3/10 * 2/9 --> 앞의 실험에 영향을 받으므로 독립 X

참고)
비복원추출이라도 모집단 수가 크고 표본크기가 상대적으로 크지 않은 경우에는
(문제를 간단하게 하기 위해) 베르누이 실험을 근사 모형으로 사용할 수 있다.

 

베르누이 확률 변수

앞에서 베르누이 시행을 통해 일종의 확률실험을 했다면, 이제 확률변수를 통해 숫자로 바꿔보려고 한다.
베르누이 확률 변수란, 모수(성공할 확률)가 p인 베르누이 시행으로 다음과 같은 지시함수(indicator function)로 표현되며 확률은 다음과 같다.

베르누이 확률 변수

이를 확률질량함수로 나타내면 아래와 같다.

베르누이 확률질량함수

이에 대한 기댓값, 분산 등에 대해 계산해보자.

베르누이 기댓값, 분산, 표준편차