[Peebles] 2. 랜덤변수 (2) 가우시안 랜덤변수 및 이항·포아송·균일·지수·레일리 분포

랜덤변수 X의 밀도함수가 아래와 같은 식의 형태를 띄면, 이 랜덤변수는 가우시안(gaussian)이라고 한다.

(여기에서 σX>0, -∞<aX<∞이며, 최댓값은 x=aX에서 1/sqrt(2πσ^2)이다.)

점 x=aX를 중심으로 퍼진 정도는 σX와 관계되며, x=aX+σX와 x=aX-σX에서 최댓값의 0.607배만큼 감소한다.

가우시안의 분포함수는 밀도함수의 적분을 통하여 구할 수 있으며 다음과 같다.

하지만 이 적분은 정적분이 되지 않으므로 수치적 또는 근사적인 방법으로 구해야 한다. 또한 aX와 σX에 따라 무한개의 값을 가지고 있으므로 aX=0, σX=1로 정규화된 경우를 생각해보자.

식은 위와 같아지며, F(-x) = 1 - F(x)와 같은 특성을 지니고 변수치환을 하게 되면

이로부터 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.

따라서 어떤 가우시안 랜덤변수의 평균과 표준편차를 안다면, 그것의 분포함수를 구할 수 있다.

함수 F(x)는 근사식에 의해 구할 수도 있는데, 아래의 과정을 살펴보자.

앞의 식을 F(x), 뒤의 식을 Q(x)라고 두면 F(x)+Q(x)=1이다.

이와 같이 F(x)를 Q(x)에 대해 나타낼 수 있다.

Q(x)는 이와 같은 근사식으로 나타낼 수 있다.

Q(x)의 근사식에서 a=0.339, b=5.510일 때 최소의 절대 상대오차를 가진다고 밝혀졌다.

이제 특별한 이름이 붙여진 다른 중요 분포함수들에 대해 알아보자.

 

이항(binomial) 분포

베르누이 시행 실험에 적용되는 이항 분포의 밀도함수 및 분포함수는 아래와 같다.

이항 밀도함수(binomial density function)

이항 분포함수(binomial distribution function)

 

포아송(Poisson) 분포

포아송 분포는 이항 랜덤변수에서 N→∞, p→0이고 Np=b를 만족할 때의 분포이며, 밀도함수 및 분포함수는 아래와 같다.

포아송 밀도함수(Poisson density function)

포아송 분포함수(Poisson distribution function)

포아송 분포에서는 사건들끼리 같은 분포로 서로 독립이라는 가정이 주어져 있다.

만약 관찰하려는 시간 구간이 T이고 사건이 λ의 비율로 일어나며 포아송 분포를 가지면 b=λT가 된다.

 

균일(Uniform) 분포

균일한 확률을 가지는 균일 밀도함수 및 분포함수는 아래와 같다.

균일 확률 밀도함수 (uniform probability density function)

균일 확률 분포함수(uniform probability distribution function)

균일 확률 밀도 및 분포함수는 신호의 양자화(샘플값을 일정 이산적 양자 레벨에 가까운 값으로 반올림하는 것) 등에 많이 쓰인다.  

 

지수(Exponential) 분포

지수 밀도함수 및 분포함수는 아래와 같다.

지수 밀도함수(exponential density function)

지수 분포함수(exponential distribution function)

지수 밀도 및 분포는 폭풍우 측정 시 빗방울의 크기 또는 레이더에 수신되는 신호 세기의 변동 등을 근사적으로 나타낸다.

 

레일리(Rayleigh) 분포

레일리 밀도함수 및 분포함수는 아래와 같다.

레일리 밀도함수(Rayleigh density function)

레일리 분포함수(Rayleigh distribution function)

레일리 밀도 및 분포는 여러 측정 시스템 오차 해석에서 주로 쓰인다.